Question

【題目】已知函數f（x）= （a∈R）.

（Ⅰ）求f（x）在區間[-1,2]上的最值；

（Ⅱ）若過點P（1,4）可作曲線y=f（x）的3條切線，求實數a的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得到函數的單調性，根據單調性求得函數的極值和端點值，比較可得函數的最值；（Ⅱ）設切點，進而得直線的斜率為，若曲線有3條切線，則方程有3個實數根， 即方程有3個根，然后構造函數利用單調性、極值求解。

試題解析：

（Ⅰ）∵ f（x）=

，

由解得或；

由解得，

又，

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

又 ，

∴最大值是，最小值是．

(Ⅱ) 設切點

∴直線的斜率為

，

整理得，

由題意知此方程應有3個解．

令，

∴，

由解得或，由解得，

∴ 函數在， 上單調遞增，在上單調遞減．

∴ 當時， 有極大值，且極大值為；

當時， 有極小值，且極小值為；

要使得方程有3個根，

則，

解得，

∴ 實數a的取值范圍為．