Question

已知a＞0，函數f(x)=

|x-2a|

x+2a

在區間[1，4]上的最大值等于

1

2

，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：討論x-2a在區間[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？對應的f（x）的最大值是什么，求出a的值．

解答：解：（1）當x-2a在區間[1，4]上恒大于零時，
∵x-2a＞0，∴a＜

x

2

；
當x=1時，滿足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜

1

2

；
此時函數f（x）=

x-2a

x+2a

=1-

4a

x+2a

，
該函數在定義域[1，4]上為增函數，在x=4時，取最大值f（4）=

1

2

，
∴a=

2

3

，不滿足a＜

1

2

的假設，舍去．
（2）當x-2a在區間[1，4]上恒小于零時，
∵x-2a＜0，∴a＞

x

2

；
當x=4時，滿足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此時函數f（x）=

-(x-2a)

x+2a

=

4a

x+2a

-1，
該函數在定義域[1，4]上為減函數，在x=1時，取最大值f（1）=

1

2

，
∴a=

3

2

，不滿足a＞2的假設，舍去．
（3）由前面討論知，當

1

2

＜a＜2時，x-2a在區間[1，4]上既有大于零又有小于零時，
①當x＜2a時，x-2a＜0，此時函數f（x）=

4a

x+2a

-1在[1，2a）上為減函數，在x=1時，取到最大值f（1）=

1

2

；
②當x＞2a時，x-2a＞0．此時函數f（x）=1-

4a

x+2a

在（2a，4]時為增函數，在x=4時，取到最大值f（4）=

1

2

；
總之，此時函數在區間[1，4]上先減后增，在端點處取到最大值；
當函數在x=1處取最大值時，解得a=

3

2

，此時函數f（x）=

|x-3|

x+3

，將函數的另一個最大值點x=4代入得：
 f（4）=

1

7

，
∵f（1）＞f（4），∴滿足條件；
當函數在x=4處取最大值時，解得a=

2

3

，此時函數f（x）=

|x- 4 3 |

x+ 4 3

，將函數的另一個最大值點x=1代入得：
f（1）=

1

7

，
∵f（1）＜f（4），∴滿足條件；
∴a=

2

3

或a=

3

2

；
故答案為：

2

3

或

3

2

．

點評：本題考查了含有絕對值的函數在某一閉區間上的最值問題，是易錯題．