Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，M、N分別為PB、PC的中點．

（1）證明：MN∥平面PAD；
（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求三棱錐C﹣BDN的體積V．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵M，N是PB，PC的中點，

∴MN∥BC，又BC∥AD，

∴MN∥AD，又MN平面PAD，AD平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）證明：連接BD，則BD=2 ，

∵PD⊥底面ABCD，

∴∠PBD為PB與平面ABCD所成的角，

∴∠PBD=45°，

∴PD=BD=2 ，

∵N為PC的中點，

∴N到平面ABCD的距離h= PD= ，

∴VC﹣BDN=VN﹣BCD= = = ．

【解析】（1）由MN∥BC∥AD即可得出MN∥AD，從而得出結論；（2）連接BD，由PD=BD=2 得出N到平面ABCD的距離為h= ，則VC﹣BDN=VN﹣BCD= ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．