Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 離心率e= ，與雙曲線 有相同的焦點． （I）求橢圓C的標準方程；
（II）過點F1的直線l與該橢圓C交于M、N兩點，且| + N|= ，求直線l的方程．
（Ⅲ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任一條切線與橢圓C有兩個交點A、B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程，否則，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由雙曲線 ，得 ，c=1， 又 ，得a= ，∴b2=1，
故橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），設過點F1（﹣1，0）的直線l：y=k（x+1），
由 消去y，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
設M（x1 ． y1），N（x2 ， y2），
則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
y1+y2=k（x1+x2+2）= ，
由于F2（1，0），| + N|= ，
則 =（x1﹣1，y1）， =（x2﹣1，y2），
即有（x1+x2﹣2）2+（y1+y2）2= ，
即有（﹣ ﹣2）2+（ ）2= ，
解得k2=1．檢驗：△=16k4﹣4（1+2k2）（（2k2﹣2）=16＞0，
故k=±1．
則直線l的方程為：y=x+1或y=﹣x﹣1；
（Ⅲ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且OA⊥OB，
①當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，
與x2+2y2=2聯立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∴△=8（2k2﹣m2+1）＞0，
∴ ，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，
∵ =x1x2+y1y2=0，
∴ ，
∴3m2﹣2k2﹣2=0，則2k2=3m2﹣2，
∴對任意k，符合條件的m滿足 ，
∴ ，即m≥ 或m≤﹣ ，
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r= ， = ，
∴所求的圓為 ，此時該圓的切線y=kx+m都滿足m≥ 或m≤﹣ ，
∴所求的圓為 ，
②當切線的斜率不存在時，切線x=± ，
與橢圓x2+2y2=2的兩個交點為（ ，± ）或（﹣ ，± ），
滿足OA⊥OB，
綜上，存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且OA⊥OB
【解析】（I）由雙曲線方程求出橢圓的焦點，結合離心率求得a，b的值，則橢圓方程可求；（II）設出過F1的直線l的方程，與橢圓方程聯立，由向量的模列式求得直線的斜率得答案；（Ⅲ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且OA⊥OB，然后分當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，與x2+2y2=2聯立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用向量垂直與數量積間的關系求得直線方程，已知切線垂直x軸時得答案．