Question

【題目】已知，，．

（1）若，證明：；

（2）對任意，都有，求整數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）構造函數，利用二次求導可證明結論成立；

（2）利用時，不等式成立以及（1）的結論，可得，從而只需證明在區間恒成立即可．再根據（1）的結論，轉化為證明在上恒成立.利用導數即可證明，由此可得結果.

（1）設，則，

因為，且，

則在單調遞減，因為，，

所以存在唯一零點，使得，

所以時，，時，，

則在時單調遞增，在上單調遞減，

又，，

所以在上恒成立，所以在上單調遞增，

則，即．

所以．

（2）因為對任意的，不等式，

即恒成立，

令，則，

由（1）知，所以，

由于為滿足的整數，則，

因此．

下面證明在區間恒成立即可．

由（1）知，則，

故，

設，，則，

所以在上單調遞減，

所以，所以在上恒成立．

綜上所述，的最大值為2．