Question

（2012•樂山二模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x=1時(shí)，f（x）取得極小值-

2

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線相互垂直？試說明你的結(jié)論；
（3）設(shè)f（x）表示的曲線為G，過點(diǎn)（1，-10）作曲線G的切線l，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用條件圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x=1時(shí)，f（x）取得極小值-

2

3

．得到對應(yīng)的條件，然后求出a，b，c，d．
（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，利用過此兩點(diǎn)處的切線相互垂直，得到導(dǎo)數(shù)之積為-1，然后判斷．
（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求切線方程，利用過點(diǎn)（1，-10），求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線方程．

解答：解：（1）f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以b=d=0．
即f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c．
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值-

2

3

，
所以f'（1）=3a+c=0且f(1)=a+c=-

2

3

，解得a=

1

3

，c=-1．
所以f(x)=

1

3

x3-x．
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過此兩點(diǎn)處的切線相互垂直．
則由f'（x）=x²-1知兩點(diǎn)的切線的斜率分別為k1=x12-1，k2=x22-1．
因?yàn)閤₁，x₂∈[-1，1]，所以x12-1≤0，x22-1≤0，
所以(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)≤0，與k1k2=(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=-1矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線相互垂直．
（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x₀，y₀），則切線方程為y-y0=(

x

2 0

-1)(x-x0)，
因?yàn)檫^點(diǎn)（1，-10），所以

y0= 1 3 x 3 0 -x0 -10-y0=( x 2 0 -1)(1-x0)

，
消去y₀得2

x

3 0

-3

x

2 0

-27=0，所以(x0-3)(2

x

2 0

-3x0+9)=0，
解得x₀=3，y₀=9-3=6，
即切點(diǎn)為（3，6）．
所以切線方程為8x-y-18=0．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的問題．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．