Question

【題目】（本小題滿分12分）．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求的值；

（2）設(shè)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?/span>，，則,;（2）首先求出在區(qū)間的極值，然后再求出端點(diǎn)的函數(shù)值，比較得出最大值.（3）證, 設(shè),根據(jù)（2）中的單調(diào)性即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>．，，．

由已知得，，且．

（2），．

令，得．

當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>，，所以

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上的最大值為；

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上的最大值為．

（3）證明：當(dāng)時(shí)，要證，只需證．①

設(shè)，則由（2）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

令，則，∴①式成立，即不等式成立．