Question

已知雙曲線的方程為x²-

y2

4

=1，如圖，點A的坐標為（-

5

，0），B是圓x²+（y-

5

）²=1上的點，點M在雙曲線的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．

Answer 1

分析：設點D的坐標為（

5

，0），則點A，D是雙曲線的焦點，利用雙曲線的定義，可得|MA|-|MD|=2a=2．于是|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，再利用|BD|≥|CD|-r即可．

解答：解：設點D的坐標為（

5

，0），則點A，D是雙曲線的焦點，
由雙曲線的定義，得|MA|-|MD|=2a=2．
∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
又B是圓x²+（y-

5

）²=1上的點，圓的圓心為C（0，

5

），
半徑為1，故|BD|≥|CD|-1=

10

-1，從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1，
當點M，B在線段CD上時取等號，即|MA|+|MB|的最小值為

10

+1．

點評：熟練掌握雙曲線的性質及其圓外一點到圓上一點距離的最小值是解題的關鍵．