Question

【題目】已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓x2+3y2=4上，對角線BD所在直線的斜率為1．
（1）當直線BD過點（0，1）時，求直線AC的方程；
（2）當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得直線BD的方程為y=x+1．

因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．

于是可設直線AC的方程為y=﹣x+n．

由 得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．

因為A，C在橢圓上，

所以△=﹣12n2+64＞0，解得 ．

設A，C兩點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

則 ， ，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．

所以 ．

所以AC的中點坐標為 ．

由四邊形ABCD為菱形可知，點 在直線y=x+1上，

所以 ，解得n=﹣2．

所以直線AC的方程為y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．

（2）解：因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC=60°，

所以|AB|=|BC|=|CA|．

所以菱形ABCD的面積 ．

由（1）可得 ，

所以 ．

所以當n=0時，菱形ABCD的面積取得最大值

【解析】（1）由題意得直線BD的方程，根據四邊形ABCD為菱形，判斷出AC⊥BD．于是可設出直線AC的方程與橢圓的方程聯立，根據判別式大于0求得n的范圍，設A，C兩點坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），根據韋達定理求得x1+x2和x1x2 ， 代入直線方程可表示出y1+y2 ， 進而可得AC中點的坐標，把中點代入直線y=x+1求得n，進而可得直線AC的方程．（2）根據四邊形ABCD為菱形判斷出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．進而可得菱形ABCD的面積根據n的范圍確定面積的最大值．