Question

數列{a_n}滿足a₁=a，a₂=-a（a＞0），且{a_n}從第二項起是公差為6的等差數列，S_n是{a_n}的前n項和．
（1）當n≥2時，用a與n表示a_n與S_n；
（2）若在S₆與S₇兩項中至少有一項是S_n的最小值，試求a的取值范圍；
（3）若a為正整數，在（2）的條件下，設S_n取S₆為最小值的概率是p₁，S_n取S₇為最小值的概率是p₂，比較p₁與p₂的大�。�

Answer 1

解：（1）由已知，當n≥2時，a_n=-a+6（n-2），
即a_n=6n-（a+12）．
∴S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=a+（n-1）（-a）+•6=3n²-（a+9）n+2a+6．
（2）由已知，當n≥2時，{a_n}是等差數列，公差為6，數列遞增．
若S₆是S_n的最小值，則
即
∴24≤a≤30．
若S₇是S_n的最小值，則
即
∴30≤a≤36．
∴當S₆與S₇兩項中至少有一項是S_n的最小值時，a的取值范圍是[24，36]．
（3）∵a是正整數，由（2）知，a=24，25，26，，36．
當S₆是S_n最小值時，a=24，25，26，27，28，29，30
當S₇是S_n最小值時，a=30，31，32，33，34，35，36
∴p₁=p₂=．
分析：（1）因為數列是等差數列，所以由通項公式和前n項和公式求解．
（2）由 （1）知：{a_n}是等差數列，且公差為6，所以數列遞增，如果S₆是S_n的最小值，則有，若S₇是S_n的最小值，則有兩種情況最后取并集．
（3）由“a是正整數”，則本題是一個古典概型，由（2）知，a的所以取值為：24，25，26，…，36．當S₆是S_n最小值時，a的取值為：24，25，26，27，28，29，30，當S₇是S_n最小值時，a的取值為：30，31，32，33，34，35，36，由概率公式求得p₁，p₂再比較．．
點評：本題主要考查等差數列的通項及前n項和公式以及用通項法研究前n和最值問題，同時，還滲透了概率問題，綜合性較強，轉化比較靈活，要求比較高．