Question

數列{a_n}滿足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)
（1）若b_n=a_n-2，求證{b_n}為等比數列；    
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由an =

1

2

an-1+1，n≥2，知an-2=

1

2

(an-1-2)，所以bn=

1

2

bn-1，n≥2，由此能證明{b_n}是等比數列．
（2）由b₁=a₁-2=-1，知bn=(-1)×(

1

2

)n-1，由b_n=a_n-2，能求出a_n．

解答：（1）證明：∵an =

1

2

an-1+1，n≥2，
∴an-2=

1

2

(an-1-2)，
∴bn=

1

2

bn-1，n≥2，
∴{b_n}是公式為

1

2

的等比數列．
（2）解：b₁=a₁-2=-1，
bn=(-1)×(

1

2

)n-1，
∴an=bn+2=2-

1

2 n-1

，n∈N^*．

點評：本題考查等比數列的證明和數列通項公式的求法，是基礎題．解題時要認真審題，注意遞推公式的靈活運用．