Question

對于區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的；否則，稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現有兩個函數f₁（x）=log_a（x-3a）與（a＞0且a≠1），f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上都有意義，
（1）求a的取值范圍；
（2）問f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上是否為接近的？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使f₁（x）與f₂（x）有意義，則有，由此能求出a的取值范圍．
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上是接近的對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．由此入手能夠推導出當時，f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上是非接近的．
解答：解：（1）要使f₁（x）與f₂（x）有意義，則有
要使f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上都有意義，等價于：
所以0＜a＜1．
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上是接近的，對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
設h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其對稱軸x=2a＜2在區間[a+2，a+3]的左邊，
???
，
所以，當時，f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上是接近的；
當時，f₁（x）與f₂（x）在給定區間[a+2，a+3]上是非接近的．
點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題時要注意函數恒成立的充要條件的合理運用．