Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓 C：＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)P在第四象限， A為左頂點(diǎn)， B為上頂點(diǎn)， PA交y軸于點(diǎn)C，PB交x軸于點(diǎn)D.

(1) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 求 △PCD 面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)－1

【解析】

（1）由離心率，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入＝1，結(jié)合可求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線方程為，可求得的坐標(biāo)，由共線求得點(diǎn)坐標(biāo)，這樣可求得，令換元后用基本不等式求得最大值．

(1) 由題意得：得a2＝4，b2＝1，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：＋y2＝1.

(2) 由題意設(shè)lAP：y＝k(x＋2)，－ <k<0，所以C(0，2k)，

由消y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝，

由xA＝－2得xP＝，故yP＝k(xP＋2)＝，

所以P，

設(shè)D(x0，0)，因B(0，1)，P，B，D三點(diǎn)共，所以kBD＝kPB，故＝，

解得x0＝，得D，

所以S△PCD＝SPAD－S△CAD＝×AD×|yP－yC|

＝＝，

因?yàn)椋?/span><k<0，所以S△PCD＝＝－2＋2×，

令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋＝－2＋

＝－2＋≤－2＋＝－1，

當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)k＝，所以△PCD面積的最大值為－1.