Question

設關于x的函數y=-2sin²x-2asinx-（2a+1）的最大值為f（a）
（1）求f（a）的表達式
（2）確定使f（a）=5的a的值，并對此時的a，求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數y=-2sin²x-2asinx-（2a+1）的最大值為f（a），利用換元法我們令t=sinx，（-1≤t≤1），結合二次函數在定區間上的最值問題的處理方法，即可得到f（a）的表達式．
（2）由（1）中f（a）的表達式，我們分別討論使f（a）=5的a的值，并根據分類標準進行取舍，最后綜合討論結果即可得到f（a）=5的a的值，進而求出對應的y的最小值．

解答：解：（1）y=-2sin²x-2asinx-（2a+1）=-2（sinx+

a

2

）²+

a2

2

-（2a+1）
令t=sinx，（-1≤t≤1）
當-

a

2

＜-1，即a＞2時，
f（a）=-3
當-1≤-

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，
f（a）=

a2

2

-2a-1
當-

a

2

＞1，即a＜-2時
f（a）=-4a-3
∴f（a）=

-3，a＞2 a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 -4a-3，a＜-2

（2）當a＞2時，f（a）=-3≠5
當-2≤a≤2時，f（a）=

a2

2

-2a-1=5
解得a=-2，或a=6（舍去）
當a＜-2時，f（a）=-4a-3=5
則a=-2（舍去）
綜上所述a=-2
此時，y=-2（t-1）²+5，（-1≤t≤1）
當t=-1時，y取最小值-3

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，其中利用換元法，將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題，是解答本題的關鍵．