Question

設關于x的函數y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為f（a）．
求：（1）寫出f（a）的表達式；
（2）試確定能使f（a）=

1

2

的a的值，并求此時函數y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的解析式，利用余弦函數的值域為[-1，1]，可將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題，我們分

a

2

≤-1，-1＜

a

2

＜1，

a

2

＞1，三種情況，分別求出函數y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值，即可得到f（a）的表達式（分段函數的形式）；
（2）根據（1）中函數f（a）的表達式，我們根據分段函數分段處理的原則，分別構造f（a）=

1

2

的方程，在三種情況下，分別解方程求出滿足條件的根，即可得到滿足條件的x值，進而得到函數y的最大值．

解答：解：（1）y=2（cosx-

a

2

)2-

a2+4a+2

2

．
∵-1≤cosx≤1，
∴f(a)=

1，(a≤-2) - a2+4a+2 2 ，(-2＜a＜2) 1-4a，(a≥2).

（2）當a≤-2時，f（a）=1，從而f（a）=

1

2

無解；
當-2＜a＜2時，由-

a2+4a+2

2

=

1

2

得a²+4a-3=0，解之得a=-1或a=-3（舍去）；
當a≥2時，由1-4a=

1

2

得a=

1

8

（舍去）．
綜上所述a=-1，此時有y=2（cosx+

1

2

)2+

1

2

，
當cosx=1時，即x=2kπ（k∈Z）時，y有最大值為5．

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，二次函數在定區間的最值問題，分段函數，函數的值，是函數問題比較綜合的考查，有一定的難度，其中（1）的關鍵是根據余弦函數的值域為[-1，1]，將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題，而（2）的關鍵是根據分段函數分段處理的原則，分類討論解方程f（a）=

1

2

．