Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，。沿它的對(duì)角線把△折起，使點(diǎn)到達(dá)平面外點(diǎn)的位置。
（Ⅰ）△折起的過(guò)程中，判斷平面與平面的位置關(guān)系，并給出證明；
（Ⅱ）當(dāng)△為等腰三角形，求此時(shí)二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）平面平面…………1分
證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823203649603168.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，。
因?yàn)檎郫B過(guò)程中，，所以，又，故平面。
又平面，所以平面平面。…………5分
（Ⅱ）解法一：如圖，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，。…………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823203650024385.png" style="vertical-align:middle;" />，，，，所以為正方形，。
由于，都與平面垂直，所以，可知。
因此只有時(shí)，△為等腰三角形。………………8分
在△中，，
又，所以△為等邊三角形，。………………10分
由（Ⅰ）可知，，所以為二面角的平面角，即二面角的大為。…………12
解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，。………………6分

由（Ⅰ）可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則有。     ①
因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823203649509473.png" style="vertical-align:middle;" />為等腰三角形，
所以或。………………8分
若，則有。
則此得，，不合題意。
若，則有。     ②
聯(lián)立①和②得，。故點(diǎn)的坐標(biāo)為。
由于，，所以與夾角的大小等于二面角的大小。
又，，
所以，即二面角的大小為。

略