Question

直線y=x+1與橢圓mx²+ny²=1（m，n＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-

1

3

，則雙曲線

y2

m2

-

x2

n2

=1的兩條漸近線所夾的銳角等于（　　）

• A．2arctan2
• B．2arctan

  1

  2

• C．π-2arctan2
• D．π-2arctan

  1

  2

Answer 1

分析：把直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x₁+x₂=-

2

3

，求得n和m的關(guān)系，求得漸近線的斜率，進(jìn)而根據(jù)兩條漸近線夾角為漸近線的傾斜角的兩倍，進(jìn)而求得答案．

解答：解：把直線與橢圓方程聯(lián)立

y=x+1 mx 2+ny 2=1

消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-

2n

m+n

=-

2

3

∴

n

m

=

1

2

則雙曲線

y2

m2

-

x2

n2

=1的一條漸近線y=

m

n

x的傾斜角為π-2arctan2；
∴兩條漸近線所夾的銳角等于π-2arctan2
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、兩直線的夾角、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．