Question

【題目】已知橢圓()的離心率為，以的短軸為直徑的圓與直線相切.

（1）求的方程；

（2）直線交于，兩點，且.已知上存在點，使得是以為頂角的等腰直角三角形，若在直線的右下方，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由的短軸為直徑的圓與直線相切求出，再由離心率和關系，可求出橢圓標準方程；

（2）將直線與橢圓方程聯立，消元整理，由根與系數關系，得到的兩個關系式，再從已知條件尋找第三個等量關系，根據已知結合平面圖形，可得軸，過作的垂線，垂足為，則為線段的中點，得，進而有，代入直線方程，得到等量關系，求解關于方程組，即可求出.

（1）依題意，，

因為離心率，

所以，解得，

所以的標準方程為.

（2）因為直線的傾斜角為，

且是以為頂角的等腰直角三角形，

在直線的右下方，所以軸，

過作的垂線，垂足為，則為線段的中點，

所以，故，

所以，即，

整理得.①

由得.

所以，解得，

所以，②

，③

由①②得，，④

將④代入②得，⑤

將④⑤代入③得，解得.

綜上，的值為.