Question

【題目】已知橢圓 ，過 的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，過Q（x0 ， 0）（|x0|＜a）的直線l'與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)l的斜率是k時(shí)，用a，b，k表示出|PA||PB|的值；
（2）若直線l，l'的傾斜角互補(bǔ)，是否存在實(shí)數(shù)x0 ， 使 為定值，若存在，求出該定值及x0 ， 若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 ，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2c，

設(shè)直線AB的方程： ，

由 ，整理得： ，

由韋達(dá)定理可知： ，

（2）解：當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)：設(shè)直線MN的方程：y=﹣k（x﹣x0），M（x3，y3），N（x4，y4）．

由 ，可知得： ，

則 ，

由韋達(dá)定理可知： ，

由弦長公式可知：丨MN丨= ，

∴ ，

，

∴當(dāng)x0=0時(shí)， 為常數(shù)

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)： 時(shí)，

為定值．

綜上：所以當(dāng)x0=0時(shí)， 為常數(shù)

【解析】（1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)直線AB的方程： ，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理 ，因此，由弦長公式可知： ，（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)：設(shè)直線MN的方程：y=﹣k（x﹣x0），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知： ，由弦長公式求得丨MN丨，則 ， ，當(dāng)x0=0時(shí)， 為常數(shù)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)： 時(shí)， 為定值，所以當(dāng)x0=0時(shí)， 為常數(shù)．