Question

【題目】已知函數，（）．

（1）當，且時，求的值域；

（2）若存在實數使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）將參數值代入，根據二倍角公式得到關于正弦的二次函數，再轉化為二次函數最值問題；（2）由二倍角公式得到f（x）=+asinx，分類討論即可.

詳解：

（1）當a=1，時，f（x）=sinx﹣cos2x+1=sinx﹣（1﹣2sin2x）+1=+sinx

=2﹣；

時，sinx∈[﹣1，1]，

∴sinx=﹣時，f（x）取得最小值﹣，sinx=1時，f（x）取得最大值3，

∴f（x）的值域為[﹣，3]；

（2）f（x）=asinx﹣cos2x+1=asinx+=+asinx，

設t=sinx，則t∈[﹣1，1]，代入原函數得y=2t2+at，

∵存在實數x使得函數f（x）≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得函數2t2+at≥a2成立，

①當a=0時，2t2≥0成立，

②當a≠0時，由2t2+at﹣a2≥0得（2t﹣a）（t+a）≥0，

當a＞0時，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，﹣a]∪[，+∞），

由題意可得，≤1或﹣a≥﹣1，解得0＜a≤2，

當a＜0時，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，]∪[﹣a，+∞），

由題意可得，﹣a≤1或≥﹣1，解得﹣2≤a＜0，

綜上，實數a的取值范圍是[﹣2，2]．