Question

【題目】已知直線是曲線的切線.

（1）求函數的解析式，

（2）若，證明:對于任意，有且僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數求導，并設切點，利用點既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得，即可得答案；

（2）當x充分小時，當x充分大時，可得至少有一個零點. 再證明零點的唯一性，即對函數求導得，對分和兩種情況討論，即可得答案.

（1）根據題意，，設直線與曲線相切于點.

根據題意，可得，解之得，

所以.

（2）由（1）可知，

則當x充分小時，當x充分大時，∴至少有一個零點.

∵，

①若，則，在上單調遞增，∴有唯一零點.

②若令，得有兩個極值點，

∵，∴，∴.

∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴極大值為.，又，

∴在(0，16)上單調遞增，

∴，

∴有唯一零點.

綜上可知，對于任意，有且僅有一個零點.