Question

【題目】給出集合

(1)若求證:函數(shù)

(2)由(1)可知，是周期函數(shù)且是奇函數(shù)，于是張三同學(xué)得出兩個(gè)命題：

命題甲:集合M中的元素都是周期函數(shù)；命題乙:集合M中的元素都是奇函數(shù)，請(qǐng)對(duì)此給出判斷，如果正確，請(qǐng)證明；如果不正確,請(qǐng)舉出反例；

(3)設(shè)為常數(shù),且求的充要條件并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）命題甲正確，命題乙不正確；（3）的充要條件為，，且．證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化證明等價(jià)于，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．（2）命題甲正確．集合中的元素都是周期為6的周期函數(shù)，驗(yàn)證即可，命題乙不正確．集合中的元素不都是奇函數(shù)，列舉反例即可；（3）由函數(shù)的周期性，結(jié)合正弦公式，化簡(jiǎn)可得所求的值．

（1）證明：轉(zhuǎn)化證明

，

左邊

右邊；

（2）命題甲正確．集合中的元素都是周期為6的周期函數(shù)．

，可得，

即有，可得，

即，為最小正周期為6的函數(shù)；

命題乙不正確．集合中的元素不都是奇函數(shù)．

如是奇函數(shù)；不是奇函數(shù)．

（3）由，可得，

即有，可得，

即，

，可得，

即為，

即為，可得，，且，

可得，，且．

則的充要條件為，，且．