Question

已知x=是函數f（x）=的極值點．
（Ⅰ）當b=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當b∈R時，函數y=f（x）-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）考查函數的導數在極值點兩側的符號，導數大于0的區間是函數的增區間，小于0的區間是函數的減區間．
（Ⅱ） 根據函數的單調性求出f（x）的值域，要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線
y=m有兩個不同的交點，分b＞0、b=0、b＜0 三種情況求出實數m的取值范圍．
解答：解（Ⅰ）x＞0時，f（x）=（x²-2ax ） e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ） e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′（）=0，解得a=1．∴f（x）=（x²-2x），f′（x）=（x²-2）e^x．
當 x∈（0，）時，f′（x）＜0，當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0．   又f（0）=0，
當 b=1時，f（x）在（-∞，0），（，+∞） 上單調遞增，在（0，）上單調遞減．
（Ⅱ）由（1）知，當x∈（0，）時，f（x）單調遞減，f（x）∈（（2-2），0）．
當x∈（，+∞）時，f（x）單調遞增，f（x）∈（（2-2），+∞）．
要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或 m=（2-2）．
②當b=0時，m∈（（2-2），0）．
③當b＜0時，m∈（（2-2），+∞）．
點評：本題考查函數在某點存在極值的條件，利用導數研究單調性和極值，體現了分類討論的數學思想．