Question

函數f（x）為定義在R上的奇函數，當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）求函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（0，1）上的單調性并證明．

Answer 1

（1）∵函數f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
當x∈（-1，0）時，f（-x）=

2-x

2-x+1

=

1

2x+1

=-f（x），
∴x∈（-1，0）時，f（x）=-

1

2x+1

綜上所述，f(x)=

f(x)= 2x 2x+1 (0＜x＜1) 0(x=0) f(x)=- 1 2x+1 (-1＜x＜0)

（2）∵當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

2x+1

．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

∵2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函數f（x）在（0，1）上的是單調增函數．