Question

【題目】某市每年春節前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴重．該市環保研究所對近年春節前后每天的空氣污染情況調查研究后發現,每天空氣污染的指數．f（t），隨時刻t（時）變化的規律滿足表達式，其中a為空氣治理調節參數,且a∈（0，1）．

(1)令,求x的取值范圍；

(2)若規定每天中f（t）的最大值作為當天的空氣污染指數,要使該市每天的空氣污染指數不超過5,試求調節參數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)[0，1]；(2).

【解析】

(1)題根據t的取值范圍，及復合函數同增的單調性可得x的取值范圍；

(2)題根據第(1)題的提示構造一個函數h（x）=|x-a|+3a+2，然后將絕對值函數轉化成分段函數，考慮單調性及最大值的取值，再與5比較，即可得到調節參數a的取值范圍．

(1)由題意,0≤t≤24，則1≤t+1≤10,

∴0=lg1≤lg（t+1）≤lg10=1．

故x的取值范圍為：[0，1]．

(2)由(1),知：

可設

則．

根據一次函數的單調性,很明顯h（x）在[0，a）上單調遞減,在[a，1]上單調遞增．

∴用表示函數的最大值是中最大的值.

∵，

∴,即,

解得0＜a≤．

∴a的取值范圍為：（0，]．