Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當時，求的最小值；

（2）設函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)

【解析】

（1）當時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；

（2）分段討論討論函數(shù)在相應的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．

（1）當時，函數(shù)，

當時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；

當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

又由函數(shù)， 當時，函數(shù)取得最小值為；

故當時，最小值為．

（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以

（ⅰ）當時，函數(shù)有一個零點，令得，

因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設零點為且，

此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，

令，即，得，令，

設，，

因為，所以，，，

當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；

當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；

而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，

要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設在時的零點為，

則需，而當時，，

所以當時，函數(shù)恰有兩個零點，并且滿足；

（ⅱ）若當時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點 ，且滿足，也符合題意，

而由（ⅰ）可得，要使當時，函數(shù)沒有零點，則 ，

要使函數(shù)在恰有兩個零點 ，則，但不能滿足，

所以沒有的范圍滿足當時，函數(shù)沒有零點，

函數(shù)在恰有兩個零點 ，且滿足，

綜上可得：實數(shù)的取值范圍為．

故得解.