Question

【題目】某市為了緩解交通壓力，提倡低碳環保，鼓勵市民乘坐公共交通系統出行．為了更好地保障市民出行，合理安排運力，有效利用公共交通資源合理調度，在某地鐵站點進行試點調研市民對候車時間的等待時間（候車時間不能超過20分鐘），以便合理調度減少候車時間，使市民更喜歡選擇公共交通．為此在該地鐵站的一些乘客中進行調查分析，得到如下統計表和各時間段人數頻率分布直方圖：

分組	等待時間（分鐘）	人數
第一組	[0，5）	10
第二組	[5，10）	a
第三組	[10，15）	30
第四組	[15，20）	10

（1）求出a的值；要在這些乘客中用分層抽樣的方法抽取10人，在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組的概率；
（2）從這10人中隨機抽取3人進行問卷調查，設這3個人共來自X個組，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知， ．

采取分層抽樣的方法在第一，第二，第三，第四組分別抽取：1，5，3，1人．

“在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組”記為事件A，

則 ．

（2）解：X的可能取值為1，2，3，

，

，

，

所以X的分布列為

X	1	2	3
P

【解析】（1）由題先求出a，采取分層抽樣的方法在第一，第二，第三，第四組分別抽取：1，5，3，1人．由此利用對立事件概率計算公式能求出在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組的概率．（2）X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．