Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點與拋物線的焦點重合，點在 上

（Ⅰ）求 的方程；

（Ⅱ）直線不過原點O且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為，證明：的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求得拋物線的焦點，可得c=2，再由點滿足橢圓方程，結合a，b，c的關系，解方程可得橢圓的方程；（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b（k，b≠0），A，B，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得M的坐標，可得直線OM的斜率，進而得到證明

試題解析：（Ⅰ）拋物線的焦點為（2，0），由題意可得c=2，即，

又點在上，可得解得

即有橢圓C：…………………………5分

（Ⅱ）證明：設直線的方程為（≠0），，，…………6分

將直線代入橢圓方程，可得

,…………………………8分

即有AB的中點M的橫坐標為，縱坐標為…………10分

直線OM的斜率為即有

故OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.…………………………12分