Question

設斜率為k₁的直線L交橢圓C：于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關系（不需要證明）．請你給出在雙曲線（a＞0，b＞0）中相類似的結論，并證明你的結論．

Answer 1

（1）解：設直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：
（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，
，
又中點M在直線上，
∴，
從而得弦中點M的坐標為（），
，
∴．
（2）對于橢圓，
已知斜率為k₁的直線L交雙曲線（a＞0，b＞0）于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設k₁、k₂都存在）．則k₁?k₂的值為．
（解一）、設直線方程為y=k₁x+d，
代入（a＞0，b＞0）方程并整理，
得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，
，
所以，
即．
（解二）設點A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中點M（x₀，y₀）
則，
，

又因為點A，B在雙曲線上，
則與，
作差得，
即．
分析：（1）設直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，，又中點M在直線上，所以，由此能求出k₁?k₂的值．
（2）對于橢圓，，已知斜率為k₁的直線L交雙曲線（a＞0，b＞0）于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設k₁、k₂都存在）．則k₁?k₂的值為．
解法一：設直線方程為y=k₁x+d，代入（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，由此能求出．
解法二：設點A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中點M（x₀，y₀），則，又因為點A，B在雙曲線上，則與作差得到．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是計算繁瑣，容易出錯．