Question

【題目】已知 ，函數.

（Ⅰ）若,求函數的值域；

（Ⅱ）若函數在上不單調，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若是函數（為實數）的其中兩個零點，且，求當變化時， 的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）4

【解析】試題分析：（1）由，得然后分段求值域即可；（2）分類討論a，明確函數的單調區間，從而得到實數的取值范圍；(3) 對a的取值進行分類討論，分別用a表示，分析其單調性后，可得的取值范圍，進而得到最大值.

試題解析：

（Ⅰ）解：由，得當時， ，

當時， ， 函數的值域是.

（Ⅱ）解：

當時，函數在上單調遞增；當時，函數在， 上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增； .

（III）解： 記， .當時，方程的根分別為

；當時，方程的根分別為. ， .

（1）當時， ①當時，

.

②當時，

.

（2）當時，

.

綜上所述， 的最大值為4.