Question

【題目】設函數f（x）=ln（x+a）+x2
（1）若當x=﹣1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于 ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

依題意有f'（﹣1）=0，故 ．

從而 ．

f（x）的定義域為 ，當 時，f'（x）＞0；

當 時，f'（x）＜0；

當 時，f'（x）＞0．

從而，f（x）分別在區間 單調增加，在區間 單調減少．

（2）解：f（x）的定義域為（﹣a，+∞）， ．

方程2x2+2ax+1=0的判別式△=4a2﹣8．

（�。┤簟鳎�0，即 ，在f（x）的定義域內f'（x）＞0，故f（x）無極值．

（ⅱ）若△=0，則a= 或 ．

若 ， ，f′（x）= ．

當 時，f'（x）=0，

當 時，f'（x）＞0，所以f（x）無極值．

若 ， ， ，f（x）也無極值．

（ⅲ）若△＞0，即 或 ，則2x2+2ax+1=0有兩個不同的實根 ， ．

當 時，x1＜﹣a，x2＜﹣a，從而f'（x）在f（x）的定義域內沒有零點，

故f（x）無極值．

當 時，x1＞﹣a，x2＞﹣a，f'（x）在f（x）的定義域內有兩個不同的零點，

由根值判別方法知f（x）在x=x1，x=x2取得極值．

綜上，f（x）存在極值時，a的取值范圍為 ．

由于x1+x2=﹣a，x1x2= ，

則f（x）的極值之和為

【解析】（1）先求函數定義域，然后對函數求導，由題意可得，f′（﹣1）=0，代入可求a，代入a的值，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（2）由題意可得在區間（﹣a，+∞）上，f′（x）=0有根，結合一元二次方程根的存在情況討論該方程的△=4a2﹣8，求a的取值范圍，結合a的取值，把極值點代入函數f（x）可得，
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．