Question

【題目】已知函數圖象在點（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3．

（1）求實數的值；

（2）若，且對任意恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）3．

【解析】試題分析：（1）先求出的導數f′（x）=a+lnx+1，根據已知條件f′（e）=3，再求出a+lne+1=3，可得a=1。

（2）根據已知條件建立一個不等式，再根據k＜對任意x＞1恒成立這個條件構造函數g（x）=，本題的目的就轉化為求解g（x）的最小值，首先對g（x）求導，g′（x）=，無法直接判斷g′（x）的符號，再構造一個函數h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，對其再進行求導，h′（x）=1﹣=＞0，顯然h（x）在（1，+∞）單調遞增，經計算確定h（x）在（3，4）內存在實根x0，所以當x∈（1，x0）時，h（x）＜0，即g′（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）min=g（x0）==∈（3，4），可得解.

試題解析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，

∴a=1

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx

等價于k＜對任意x＞1恒成立

令g（x）=，則g′（x）=

令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，

則h′（x）=1﹣=＞0

∴h（x）在（1，+∞）上單調增加，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，

∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實數根x0，滿足x0∈（3，4），且h（x0）=0

當x∈（1，x0）時，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，

∴g（x）=在（1，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增

∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），

∴整數k的最大值為3．

點晴:本題主要考查函數在某點的切線的斜率，及不等式恒成立求參數問題.要求在某點的切線，求導得斜率，用點斜式表示切線方程即可;要證明不等式恒成立問題可變量分離轉化為構造新函數求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.