Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。

（I）證明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值。

Answer 1

解析：（I）由條件知，PDAQ是直角梯形，
因為AQ⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線是AD。
又四邊形ABCD是正方形，DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC。
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面PCQ.
（2 ）設AB=a

由題設知AQ 為棱錐Q-ABCD 的高， 所以棱錐Q-ABCD 的體積   

由（1 ）知PQ 為棱錐P-DCQ 的高，而PQ=  ，

△DCQ 的面積為 ，

所以棱錐P-DCQ 的體積為  

故棱錐Q-ABCD 的體積與棱錐P-DCQ 的體積的比值為1 。

略