Question

【題目】已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為與，對(duì)任意，．

（1）若，求；

（2）若對(duì)任意，都有．

①當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

②是否存在兩個(gè)整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不存在正整數(shù)，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)和，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即得；（2）①根據(jù)可得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得；②根據(jù)已知可得的通項(xiàng)公式，計(jì)算即得，假設(shè)整數(shù)存在，使成等差數(shù)列，表示出，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.

（1），，即，

故，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

.

（2）①依題意，即，，

又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，

，

，錯(cuò)位相減得：，

所以.

②，且對(duì)任意，都有，，即，，可得為等比數(shù)列，

，，則有，得，，

所以，

假設(shè)存在兩個(gè)整數(shù)，使成等差數(shù)列，

即成等差數(shù)列，即，

即 ，因?yàn)?/span>，所以，即，

令，則，所以遞增，

若，則，不滿足，所以，

代入得，

當(dāng)時(shí)，顯然不符合要求；

當(dāng)時(shí)，令，則同理可證遞增，所以，所以不符合要求.

所以，不存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列.