Question

【題目】已知定義在R上的函數f(x)＝|x＋1|—|x－2|的最大值為a.

(1)求函數f(x)的值域；

(2)若函數f(x)的最大值為a；當 p，q，r是正實數，且滿足p＋q＋r＝a時，求證：p2＋q2＋r2≥3。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)利用絕對值三角不等式的性質可求；

(2)先求出的值，結合基本不等式可證.

(1)因為,所以f(x)的最大值等于3，所以a＝3，值域為 ；

(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因為p，q，r是正實數，

∴(p＋q＋r)2＝p2＋q2＋r2＋2(pq＋pr＋qr)＝9

又2pq＋2pr＋2qr≤2(p2＋q2＋r2)

當且僅當p＝q＝r時，等號成立．

因此3(p2＋q2＋r2)≥9從而p2＋q2＋r2≥3.