Question

【題目】已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出,， ,令， ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得， ,兩式相減,得, ,從而 ,令，,得,令,則 ,令,則,,由此利用分類討論思想,結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，

依題意得為方程的兩不等正實(shí)數(shù)根，

∴， ，

令， ，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ，

當(dāng)時(shí)， ，

所以

∴

解得，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）得， ， ，兩式相加得

，

故

兩式相減可得，

故

所以等價(jià)于，

所以

所以，

即，

所以，

因?yàn)?/span>，令，所以

即，令，

則在上恒成立， ，

令，

①當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞增，

所以符合題意

②當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞增

故在上單調(diào)遞減，

所以不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，

所以所以在上單調(diào)遞減，

故不符合題意

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.