Question

在平面直角坐標系中，設點P（X，Y）定義[OP]=|x|+|y|，其中O為坐標原點，對于以下結論：①符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
②設P為直線

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x+2y-2=0上任意一點，則[OP]的最小值為1；
③設P為直線y=kx+b（k，b∈R）上的任意一點，則“使[OP]最小的點P有無數個”的必要不充分條件是“k=±1”；其中正確的結論有

 

（填上你認為正確的所有結論的序號）

Answer 1

分析：①根據新定義由[OP]=|x|+|y|=1，討論x的取值，得到y與x的分段函數關系式，畫出分段函數的圖象，由圖象可知點P的軌跡圍成的圖形為邊長是

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的正方形，求出正方形的面積即可；
②舉一個反例，令y=0，求出相應的x，根據新定義求出[OP]=|x|+|y|，即可得到[OP]的最小值為1是假命題；
③根據|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到，當[OP]最小的點P有無數個時，k等于1或-1；而k等于1或-1推出[OP]最小的點P有無數個，所以得到k=±1是“使[OP]最小的點P有無數個”的充要條件，本選項錯誤．

解答：解：①由[OP]=1，根據新定義得：|x|+|y|=1，
可化為：

y=-x+1(1≥x≥0) y=-x-1(-1≤x≤0) y=x+1(-1≤x≤0) y=x-1(1≥x≥0)

，
畫出圖象如圖所示：

根據圖形得到：四邊形ABCD為邊長是

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的正方形，所以面積等于2，本選項正確；
②當P（

2 5

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，0）時，[OP]=|x|+|y|=

2 5

5

＜1，所以[OP]的最小值不為1，本選項錯誤；
③因為|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+b|，當k=-1時，|x|+|y|≥|b|，滿足題意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-b|，當k=1時，|x|+|y|≥|b|，滿足題意，
所以“使[OP]最小的點P有無數個”的充要條件是“k=±1”，本選項錯誤．
則正確的結論有：①．
故答案為：①

點評：此題考查學生理解及運用新定義的能力，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．