Question

已知函數，（a為實數）．
（1） 當a=5時，求函數在處的切線方程；
（2） 求在區間（）上的最小值；
（3） 若存在兩不等實根，使方程成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）當時, ，當時, ；（3）.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性等性質等基礎知識，同時考查分類討論等綜合解題能力.第一問，先將代入，確定的解析式，利用導數求切線的斜率，利用求切點的縱坐標，即可得出切線方程；第二問，先對求導，令，解出單調區間如表格，下面需討論t的取值范圍，分2種情況，當和時判斷函數的單調區間，判斷最小值；第三問，將問題轉化為與兩個圖像有交點，對函數求導，判斷函數的單調性，最小值為，而最大值在和中取得，需作出比較和的大小，來判斷出最大值，最后令a在最大值與最小值之間，注意數形結合判斷端點處是否符合題意.
試題解析：（1）當時,.                   1分
，故切線的斜率為.               2分
所以切線方程為:,即.                     4分
（2）,                           

	單調遞減	極小值(最小值)	單調遞增

      6分
①當時,在區間上為增函數,
所以                                        7分
②當時,在區間上為減函數,在區間上為增函數,
所以                                       8分
（3） 由，可得：，        9分
,
令,  .

	單調遞減	極小值(最小值)	單調遞增

                                                              10分
,, .
.                              11分
實數的取值范圍為 .                             12分