Question

【題目】已知函數f（x）=log 的圖象關于原點對稱，其中a為常數．
（1）求a的值；
（2）當x∈（1，+∞）時，f（x）+log （x+1）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=log （x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數f（x）的圖象關于原點對稱，

∴函數f（x）為奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

即log =﹣log = log ，

解得：a=﹣1或a=1（舍）

（2）

解：f（x）+ log （x﹣1）= log + log （x﹣1）= log （1+x），

x＞1時，log （1+x）＜﹣1，

∵x∈（1，+∞）時，f（x）+ log （x﹣1）＜m恒成立，

∴m≥﹣1；

（3）

解：由（1）得：f（x）= log （x+k），

即log = log （x+k），

即 =x+k，即k= ﹣x+1在[2，3]上有解，

g（x）= ﹣x+1在[2，3]上遞減，

g（x）的值域是[﹣1，1]，

∴k∈[﹣1，1]

【解析】（1）根據函數的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+ log （x﹣1）= log （1+x），根據函數的單調性求出m的范圍即可；（3）問題轉化為k= ﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）= ﹣x+1在[2，3]上遞減，根據函數的單調性求出g（x）的值域，從而求出k的范圍即可．