Question

【題目】已知{an}為等比數列，a1=1，a4=27； Sn為等差數列{bn} 的前n 項和，b1=3，S5=35．
（1）求{an}和{bn} 的通項公式；
（2）設數列{cn} 滿足cn=anbn（n∈N*），求數列{cn} 的前n 項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，∵a1=1，a4=27；∴1×q3=27，解得q=3．

∴ ．

設等差數列{bn} 的公差為d，∵b1=3，S5=35．∴5×3+ =35，解得d=2．

∴bn=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）解：cn=anbn=（2n+1）3n﹣1．

∴數列{cn} 的前n 項和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）3n﹣1．

3Tn=3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n．

∴﹣2Tn=3+2×（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）3n=3+ ﹣（2n+1）3n．

∴Tn=n3n．

【解析】（1）設等比數列{an}的公比為q，由a1=1，a4=27；可得1×q3=27，解得q．設等差數列{bn} 的公差為d，由b1=3，S5=35．可得5×3+ =35，解得d．（2）cn=anbn=（2n+1）3n﹣1 ． 利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．