Question

【題目】已知函數,,,且

(1)若函數在處取得極值,試求函數的解析式及單調區間；

(2)設,為的導函數,若存在,使成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)函數的解析式為,定義域為；

單調增區間為,和,,單調減區間為和；(2).

【解析】

(1)求導后根據在處取得極值可得,再求解即可得,求導分析導函數的零點以及正負區間,進而得到原函數單調區間即可.

(2)根據題意可得存在為的根,再化簡可得,再求導分析的值域,進而求得的取值范圍即可.

解；(1)由題意,

,

由函數在處取得極值,得,即,解得,

則函數的解析式為,定義域為,

,

又對恒成立,

令則有,解得,且,即或；

同理令可解得或；

綜上,函數的單調增區間為,和,,單調減區間為和.

(2)由題意,

則,

,

由條件存在,使成立得,對成立,

又

對成立,

化簡得,令,則問題轉化為求在區間上的值域,

求導得,

令,為二次函數,圖象開口向上,△,則,又,

則,在區間上單調遞增,值域為,

所以的取值范圍是.