Question

【題目】過拋物線y2=2px（p＞0）焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，作AC，BD垂直拋物線的準線l于C，D，其中O為坐標原點，則下列結論正確的是 ． （填序號）
① ；
②存在λ∈R，使得 成立；
③ =0；
④準線l上任意一點M，都使得 ＞0．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：對于①，由 ，可得①正確；
對于②，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），可得C（﹣ ，y1），D（﹣ ，y2），
又kOA= = ，kAD= ，設直線AB方程為x=my+ ．
代入拋物線的方程，可得y2﹣2pmy﹣p2=0，
可得y1y2=﹣p2 ， 即有y1（y1﹣y2）=y12﹣y1y2=2px1+p2 ，
則kOA=kAD ， 即有存在λ∈R，使得 成立，則②正確；
對于③， =（﹣p，y1）（﹣p，y2）=y1y2+p2=0，可得③正確；
對于④，由拋物線的定義可得|AB|=|AC|+|BD|，
可得以AB為直徑的圓的半徑與梯形ACDB的中位線長相等，
即有該圓與CD相切，設切點為M，即有AM⊥BM，則 =0，
則④不正確．
所以答案是：①②③．