Question

【題目】已知、分別是離心率為的橢圓：的左、右焦點，點是橢圓上異于其左、右頂點的任意一點，過右焦點作的外角平分線的垂線，交于點，且（為坐標原點）．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于、兩點，問：的周長是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)6.

【解析】試題分析：（1）由已知條件求出，再由離心率，求出b的值，寫出橢圓方程；（2）設的方程為（，），由直線AB與圓相切，求得

，設 ，（），聯立直線與橢圓方程，消去y得到一個關于x的一元二次方程，求出的值，再算出弦長的表達式，由兩點間的距離公式算出 的表達式，算出的周長為定值。

試題解析：（1）延長交直線于點，

∵為的外角平分線的垂線，∴，為的中點，

∴ ，

由橢圓的離心率，得，，

∴橢圓的方程為．

（2）由題意，設的方程為（，），

∵直線與圓相切，∴，即，

由得，

設 ，（），則，，

，

又，

∴，

同理，

∴ ，

∴，即的周長為定值6．