Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 短軸兩個端點為 且四邊形 是邊長為 的正方形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若 分別是橢圓長軸的左、右端點，動點 滿足 ，連接 ，交橢圓于點 ．證明： 為定值．

Answer 1

【答案】解：（I） ， ，∴ ，
∴橢圓方程為 ．
（Ⅱ） ， ，設 ， ，
則 ， ，
直線 ，即 ，
代入橢圓 得 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ （定值）
【解析】（1）根據題目中所給的條件的特點，關鍵是利用橢圓的幾何性質求出a、b的值，寫出橢圓的標準方程即可．
（2）設出點M的坐標后寫出直線CM的方程，并把它和橢圓的方程聯立，解方程組可求P的坐標，進而得到向量OM、OP的坐標，計算它們的數量積，即可證明出定值．