Question

已知橢圓C₁：＋y²＝1，橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率．
(1)求橢圓C₂的方程；
(2)設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C₁和C₂上，＝2，求直線AB的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）y＝x或y＝－x

(1)由已知可設橢圓C₂的方程為＝1(a>2)，
其離心率為，故＝，解得a＝4.故橢圓C₂的方程為＝1.
(2)A，B兩點的坐標分別記為(x_A，y_A)，(x_B，y_B)，
由＝2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為y＝kx.
將y＝kx代入＋y²＝1中，得(1＋4k²)x²＝4，所以.
將y＝kx代入＝1中，得(4＋k²)x²＝16，所以.
又由＝2，得，
∴，解得k＝±1.
故直線AB的方程為y＝x或y＝－x.