Question

在數列中，對于任意，等式成立，其中常數.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：數列為等比數列；

（Ⅲ）如果關于n的不等式的解集為，求b和c的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：因為，       

 所以，，            

解得 ，.          ………………………… 3分

（Ⅱ）證明：當時，由，     ①

得，               ②

將①，②兩式相減，得 ,  

化簡，得，其中.         ………………… 5分

因為，

所以 ，其中.      ………………………… 6分

因為 為常數，   

所以數列為等比數列.     …………………… 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分

 所以

， 11分

 又因為，

所以不等式化簡為，

 當時，考察不等式的解，

由題意，知不等式的解集為，

因為函數在R上單調遞增，

所以只要求 且即可，

解得；     …………………… 13分

當時，考察不等式的解，

由題意，要求不等式的解集為，

因為，

所以如果時不等式成立，那么時不等式也成立，

這與題意不符，舍去.

所以，.                  ………………………… 14分

【解析】本試題主要是考查了數列通項公式的運用，以及數列與不等式的綜合運用。

（1）因為，       

 所以，，            

解得 ，. 

（2）采用整體的思想，作差法得到通項公式的表示，進而得到結論。

（3）由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分

 所以

然后求和化簡得到。