Question

在數列中，對于任意，等式：恒成立，其中常數．

（1）求的值；         （2）求證：數列為等比數列；

（3）如果關于的不等式的解集為，試求實數、的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）當時，，   ①得 ②將①，②兩式相減，得, 化簡，得，其中，因為，所以，其中．因為 為常數，所以數列為等比數列（3），

【解析】

試題分析：（Ⅰ）　因為，       

所以，，            

解得 ，．          3分

（Ⅱ）當時，由，   ①

得，           ②

將①，②兩式相減，得,  

化簡，得，其中．         5分

因為，所以，其中．      6分

因為 為常數，   

所以數列為等比數列．    8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，     9分

所以，

又因為，所以原不等式可化簡為，1 0分

當時，不等式，

由題意知，不等式的解集為，

因為函數在上單調遞減，

所以只要求 且即可，

解得；   12分

當時，不等式，

由題意，要求不等式的解集為，

因為，

所以如果時不等式成立，那么時不等式也成立，

這與題意不符，舍去．

綜上所述：，．        14分

考點：數列求通項，等比數列的判定及不等式與函數的轉化

點評：判定數列是等比數列常采用定義法，即判定相鄰兩項之比是否為常數；由數列前n項和求通項采用關系式，第三問的不等式恒成立問題常轉化為函數最值問題，這種轉化思路經常用到