Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，點D是BC的中點，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲過點A′作一截面與平面AC'D平行，問應當怎樣畫線，寫出作法，并說明理由；
（2）求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取B′C′的中點E，連接A′E，BE，A′B，根據面面平行的判定定理證明平面AC′D∥平面A′BE；
（2）證明∠A′BE為異面直線BA′與 C′D所成角，解△A′BE，利用余弦定理求得∠A′BE的余弦值．

解答：解：（1）取B′C′的中點E，連接A′E，BE，A′B，
∵截面與平面AC'D平行，∴截面與平面BCC′B′的交線BE∥BC′，∵D是BC的中點，∴E是B′C′的中點；
∵A′E∥AD，∴A′E∥平面AC′D，又A′E∩BE=E，∴平面AC′D∥平面A′BE．
（2）∵BE∥DC′，∴∠A′BE為異面直線BA′與 C′D所成角，
∵∠ACB=90°，
∴在△A′BE中，BE=

17

2

，A′B=

6

，A′E=

5

2

，
∴cos∠A′BE=

BE2+A′B2-A′E2

2×BE×A′B

=

3 102

34

．

點評：本題考查了面面平行的性質與判定，考查了異面直線所成的角及求法，考查了學生的空間想象能力與運算能力，解題的關鍵是熟練掌握面面平行的判定定理與性質定理．