Question

【題目】如圖，已知雙曲線C1： ，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點，若存在過點P的直線與C1 ， C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點”

（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點不是“C1﹣C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2= 內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”

Answer 1

【答案】
（1）解：C1的左焦點為（ ），寫出的直線方程可以是以下形式：

或 ，其中

（2）證明：因為直線y=kx與C2有公共點，

所以方程組 有實數(shù)解，因此|kx|=|x|+1，得 ．

若原點是“C1﹣C2型點”，則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點．

考慮過原點與C2有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．

顯然直線x=0與C1無公共點．

如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組 ，得 ，矛盾．

所以直線y=kx（|k|＞1）與C1也無公共點．

因此原點不是“C1﹣C2型點”

（3）證明：記圓O： ，取圓O內(nèi)的一點Q，設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C1，C2都有公共點，顯然l不與x軸垂直，

故可設(shè)l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間，

從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點，矛盾，所以|k|＞1．

因為l與C1由公共點，所以方程組 有實數(shù)解，

得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．

因為|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，

因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，

即b2≥2k2﹣1．

因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離 ，

所以 ，從而 ，得k2＜1，與|k|＞1矛盾．

因此，圓 內(nèi)的點不是“C1﹣C2型點”

【解析】（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點為（ ），當(dāng)過左焦點的直線的斜率不存在時滿足左焦點是“C1﹣C2型點”，當(dāng)斜率存在時，要保證斜率的絕對值大于等于該焦點與（0，1）連線的斜率；（2）由直線y=kx與C2有公共點聯(lián)立方程組有實數(shù)解得到|k|＞1，分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠(yuǎn)點的直線不可能同時與C1和C2有公共點；（3）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間，進(jìn)而說明當(dāng)|k|≤1時過圓 內(nèi)的點且斜率為k的直線與C2無公共點，當(dāng)|k|＞1時，過圓 內(nèi)的點且斜率為k的直線與C2有公共點，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結(jié)果與|k|＞1矛盾．從而證明了結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點到直線的距離公式的相關(guān)知識，掌握點到直線的距離為：．