Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．

（1）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長AB交直線CD于點M，∵點E為AD的中點，∴AE=ED= AD，

∵BC=CD= AD，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．

∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，

∵BE平面PBE，∴CM∥平面PBE，

∵M∈AB，AB平面PAB，

∴M∈平面PAB，故在平面PAB內可以找到一點M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE．

（2）解：如圖所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，AB∩CD=M，

∴AP⊥平面ABCD．

∴CD⊥PD，PA⊥AD．

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．

∴PA=AD．

不妨設AD=2，則BC=CD= AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），

∴ =（﹣1，1，0）， =（0，1，﹣2）， =（0，0，2），

設平面PCE的法向量為 =（x，y，z），則 ，可得： ．

令y=2，則x=2，z=1，∴ =（2，2，1）．

設直線PA與平面PCE所成角為θ，

則sinθ= = = = ．

【解析】（1）延長AB交直線CD于點M，由點E為AD的中點，可得AE=ED= AD，由BC=CD= AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．利用線面平行的判定定理證明得直線CM∥平面PBE即可．（2）如圖所示，由∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．PA=AD．不妨設AD=2，則BC=CD= AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性質、向量夾角公式、線面角計算公式即可得出．